Optický hranol

Lom světla optickým hranolem

Lom hranolem.
Při průchodu optickým hranolem se světelný paprsek láme dvakrát. Paprsek, který vystupuje z hranolu je od vstupujícího paprsku odchýlen o úhel {\displaystyle \delta } \delta . Tato odchylka je závislá na úhlu dopadu {\displaystyle \alpha _{1}} \alpha _{1}, indexu lomu materiálu hranolu a na úhlu {\displaystyle \omega } \omega, který se nazývá lámavý. Tento úhel je sevřen tzv. lámavými stěnami hranolu.

Z obrázku a podle Snellova zákona budou platit vztahy

{\displaystyle \sin \alpha _{1}=n\,\sin \beta _{1}} {\displaystyle \sin \alpha _{1}=n\,\sin \beta _{1}}
{\displaystyle \sin \alpha _{2}=n\,\sin \beta _{2}} {\displaystyle \sin \alpha _{2}=n\,\sin \beta _{2}}
kde {\displaystyle n} n označuje index lomu hranolu. Pro odchylku {\displaystyle \delta } \delta platí

{\displaystyle \delta =(\alpha _{1}-\beta _{1})+(\alpha _{2}-\beta _{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}-\omega } {\displaystyle \delta =(\alpha _{1}-\beta _{1})+(\alpha _{2}-\beta _{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}-\omega },
neboť platí {\displaystyle \omega =\beta _{1}+\beta _{2}} {\displaystyle \omega =\beta _{1}+\beta _{2}}.

Pro malý lámavý úhel {\displaystyle \omega } \omega jsou malé také úhly {\displaystyle \alpha _{1}} \alpha _{1} a {\displaystyle \alpha _{2}} \alpha _{2}. Takový hranol se nazývá optický klín. Pro optický klín mají předchozí rovnice přibližný tvar {\displaystyle \alpha _{1}=n\beta _{1}} {\displaystyle \alpha _{1}=n\beta _{1}} a {\displaystyle \alpha _{2}=n\beta _{2}} {\displaystyle \alpha _{2}=n\beta _{2}}, což umožňuje psát

{\displaystyle \delta =(n-1)\omega } {\displaystyle \delta =(n-1)\omega }
Pro malý lámavý úhel {\displaystyle \omega } \omega tedy odchylka {\displaystyle \delta } \delta nezávisí na úhlu dopadu {\displaystyle \alpha _{1}} \alpha _{1}.

Při větších lámavých úhlech však nelze nahradit sinus přímo jeho úhlem. Pokud vyjádříme odchylku {\displaystyle \delta } \delta jako funkci úhlu lomu {\displaystyle \beta _{1}} {\displaystyle \beta _{1}}, dostaneme vztah

{\displaystyle \delta =\arcsin(n\,\sin \beta _{1})-\arcsin \left[n\,\sin(\beta _{1}-\omega )\right]-\omega } {\displaystyle \delta =\arcsin(n\,\sin \beta _{1})-\arcsin \left[n\,\sin(\beta _{1}-\omega )\right]-\omega }
Derivací tohoto vztahu podle úhlu lomu {\displaystyle \beta _{1}} {\displaystyle \beta _{1}} určíme extrémy, tzn.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \delta }{\mathrm {d} \beta _{1}}}={\frac {n\,\cos \beta _{1}}{\sqrt {1-n^{2}\sin ^{2}\beta _{1}}}}-{\frac {n\,\cos(\beta _{1}-\omega )}{\sqrt {1-n^{2}\sin ^{2}(\beta _{1}-\omega )}}}=0} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \delta }{\mathrm {d} \beta _{1}}}={\frac {n\,\cos \beta _{1}}{\sqrt {1-n^{2}\sin ^{2}\beta _{1}}}}-{\frac {n\,\cos(\beta _{1}-\omega )}{\sqrt {1-n^{2}\sin ^{2}(\beta _{1}-\omega )}}}=0}
Odtud po úpravě získáme podmínku

{\displaystyle (n^{2}-1)[\sin ^{2}\beta _{1}-\sin ^{2}(\beta _{1}-\omega )]=(n^{2}-1)\sin \omega \,\sin(2\beta _{1}-\omega )=0} {\displaystyle (n^{2}-1)[\sin ^{2}\beta _{1}-\sin ^{2}(\beta _{1}-\omega )]=(n^{2}-1)\sin \omega \,\sin(2\beta _{1}-\omega )=0}
Z této podmínky vyplývá, že odchylka {\displaystyle \delta } \delta má nejmenší hodnotu pro {\displaystyle 2\beta _{1}=\omega } {\displaystyle 2\beta _{1}=\omega }, což podle předchozích vztahů znamená, že nejmenší odchylka se objeví pro

{\displaystyle \beta _{1}={\frac {\omega }{2}}=-\beta _{2};,\alpha _{2}=-\alpha _{1}} {\displaystyle \beta _{1}={\frac {\omega }{2}}=-\beta _{2};,\alpha _{2}=-\alpha _{1}}
Minimální odchylku tedy získáme tehdy, pokud je paprsek procházející hranolem kolmý k ose souměrnosti lámavého úhlu {\displaystyle \omega } \omega.

Pří minimální odchylce {\displaystyle \delta _{m}} {\displaystyle \delta _{m}} bude platit vztah {\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\omega +\delta _{m}}{2}}} {\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\omega +\delta _{m}}{2}}}. Použitím předchozích vztahů lze pak určit

{\displaystyle \sin {\frac {\omega +\delta _{m}}{2}}=n\,\sin {\frac {\omega }{2}}} {\displaystyle \sin {\frac {\omega +\delta _{m}}{2}}=n\,\sin {\frac {\omega }{2}}}
Tento vztah lze využít pro určení indexu lomu materiálu hranolu.

Totální reflexe na hranolu.
U hranolů lze často pozorovat totální reflexi. Tento jev je často využíván např. k převrácení obrazu v dalekohledu apod.

Na hranolu lze také demonstrovat disperzi světla.

Využití
Optické hranoly jsou také používány v optických přístrojích místo klasických zrcadel - využívá se k tomu totálního odrazu a hranoly jsou výhodné pro svou prakticky neomezenou životnost(stříbrná vrstva zaručující funkci zrcadla se sloupe, zmatní, u hranolu není nic, co by mohlo takto přijít k úhoně). Využití našly také ve WDM (de)multiplexorech laserového záření, které významně zvyšují přenosovou kapacitu optických vláken.

Zajímavosti
Motiv optického hranolu použila v roce 1973 skupina Pink Floyd na obal své desky The Dark Side of the Moon
Související články
Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu optický hranol ve Wikimedia Commons
Lom světla
Snellův zákon
Index lomu
Hranol